Exercice 1 (a) Pour tout $p$ la fonction $x^{p}/(1+x^{2})$ est définie continue sur $[0,1]$, donc intégrable. Pour $I_{0}$ on reconnaît la fameuse $\arctan$ et pour $I_{1}$ c’est facile $$ I_{0}=\arctan x\Big]_{0}^{1}=\frac{\pi}{4},\qquad I_{1}=-\frac{\ln(1+x^{2})}{2}\Big]_{0}^{1}=\frac{\ln(2)}{2}.$$

(b) Quelques calculs : $$ I_{p}+I_{p+2}=\int_{0}^{1} \frac{x^{p}+x^{p+2}}{1+x^{2}} dx= \int_{0}^{1} x^{p}\frac{1+x^{2}}{1+x^{2}}dx=\int_{0}^{1}x^{p}dx= \frac{1}{p+1}.$$ On utilise alors cette relation pour avoir d’une part $I_{0}+I_{2}=1$ soit $I_{2}=1-\pi/4$ et d’autre part $I_{1}+I_{3}=1/2$ soit $I_{3}=(1-\ln(2))/2$.

(c) (visiblement c’est une récurrence) on connaît $I_{2}$, regardons $v_{1}$ ! Clairement $v_{1}=(-1)^{2}/(2*1-1)=1$ ! D’où $v_{1}+(-1)^{1}I_{2}=\pi/4$, la récurrence est initiée ! Supposons désormais l’égalité vraie au rang $q$ (avec $q\geq 1$) et montrons qu’elle est vérifiée au rang $q+1$ : d’après la question (b) et la définition de $v_{n}$ nous avons successivement $$ I_{2q+2}=\frac{1}{2q+1}-I_{2q},\qquad v_{q+1}=v_{q}+\frac{(-1)^{q+1+1}}{2(q+1)-1} $$ $$ v_{q+1}+(-1)^{q+1}I_{2q+2}=v_{q}+\frac{(-1)^{q}}{2q+1}+\frac{(-1)^{q+1}}{2q+1}+(-1)^{q}I_{2q} =\frac{\pi}{4} \qquad[(-1)^{2}=1.]$$ Ce qui permet de conclure.

(d) Pour tout $x\in[0,1]$, on a $x^{2}+1\geq 1$ d’où, $\frac{x^{p}}{1+x^{2}}\leq x^{p}$ sur $[0,1]$. Les propriétés usuelles des intégrales permettent d’affirmer que pour tout $p\in\N$ on a $$ 0\leq I_{p}\leq \int_{0}^{1}x^{p}dx \leq \frac{1}{p+1}, $$ ce qui entraîne : $\lim_{p\rightarrow +\infty}I_{p}=0$. Avec la question (c) on en déduit alors que $v_{n}$ admet $\pi/4$ comme limite quand $n$ tend vers l’infini.

(e) (ici deux comportements contraires, l’idée avec l’intégration par partie est de compenser la présence de $p$ en intégrant le $x^{p}$ pour faire apparaître un $1/(p+1)$) On écrit $$ pI_{p}=\int_{0}^{1}\frac{px^{p}}{1+x^{2}}dx=\frac{px^{p+1}}{(p+1)(x^{2}+1)}\Big]_{0}^{1} + \frac{p}{p+1}\int_{0}^{1}\frac{2x^{p+2}}{(1+x^{2})^{2}}dx=\frac{p}{2(p+1)}+ \frac{p}{p+1}\int_{0}^{1}\frac{2x^{p+2}}{(1+x^{2})^{2}}dx.$$ Clairement la quantité $\frac{p}{2(p+1)}$ tend vers $1/2$ quand $p$ tend vers l’infini. Pour le dernier terme on procède comme dans la question (d). L’encadrement $$ 0\leq \frac{p}{p+1}\int_{0}^{1}\frac{2x^{p+2}}{(1+x^{2})^{2}} dx \leq \int_{0}^{1} 2x^{p+2}dx\leq \frac{2}{p+3}$$ permet de conclure que $\lim_{p\rightarrow \infty}pI_{p}=1/2$.

Exercice 2.

(a) Comme $f$ est dérivable en $0$ et que $f(0)=0$ alors $$ \lim_{t\rightarrow 0^{+}} h(t)= \lim_{t\rightarrow 0^{+}} \frac{f(t)}{t}=f’(0)=\alpha,\quad \lim_{t\rightarrow 0^{+}} g(t)= \lim_{{t\rightarrow 0^{+}}}\frac{f(t)}{\sqrt{t}}=\lim_{{t\rightarrow 0^{+}}}\sqrt{t}\frac{f(t)}{{t}}=0. $$

(b) Un simple calcul : $ \forall t>0,\qquad f’(t)-\sqrt{t}g’(t)=\frac{h(t)}{2}.$

(c) Comme $\sqrt{t}g’(t)=f’(t)-h(t)/2$, $\forall t>0$, et comme $f’$ est continue on déduit de la question (a) que $\lim_{t\rightarrow 0^{+}}\sqrt{t}g(t)=\alpha/2$. On peut tout écrire en fonction de $f$ ou encore écrire que, $\forall t>0$, $$ g(t)g’(t)=\frac{g(t)}{\sqrt{t}} \sqrt{t}g’(t)=h(t) \sqrt{t}g’(t), $$ d’où $\lim_{t\rightarrow 0^{+}} g(t)g’(t)=\frac{\alpha^{2}}{2}$.

(d) Pour établir (1) il faut d’une part bien voir que l’on intègre sur $]0,x]$ des fonctions définies sur $]0,\infty[$ et d’autre part se sortir des calculs. Dans la question (c) on a démontré que $\sqrt{t}g’(t)$ et $g’(t)g(t)$ étaient prolongeables par continuité en $0$ (de même d’ailleurs pour $h(t)$ et $g’(t)$). Toutes les intégrales de (1) sont donc bien définies a priori. Par précaution, soient $x>\varepsilon>0$ : la question (b) donne avec intégration sur $[\varepsilon,x]$ $$ \int_{\varepsilon}^{x} (f(t))^{2}dt - \int_{\varepsilon}^{x} (\sqrt{t}g’(t))^{2}dt = \int_{\varepsilon}^{x} (f’(t) -\sqrt{t}g’(t))(f’(t) +\sqrt{t}g’(t))dt = = \int_{\varepsilon}^{x} \frac{h(t)}{2}\Big(\frac{h(t)}{2}+2\sqrt{t}g’(t)\Big) dt $$ $$ =\frac{1}{4}\int_{\varepsilon}^{x} (h(t))^{2}dt + \int_{\varepsilon}^{x}\frac{f(t)}{\sqrt{t}}{g’(t)}dt = \frac{1}{4}\int_{\varepsilon}^{x} (h(t))^{2}dt + \int_{\varepsilon}^{x}g(t)g’(t)dt = \frac{1}{4}\int_{\varepsilon}^{x} (h(t))^{2}dt + \frac{1}{2} (g(t))^{2}\Big]_{\varepsilon}^{x}.$$ Pour conclure il suffit de faire tendre $\varepsilon\rightarrow0$ et d’écrire que les fonctions $\sqrt{t}g’(t)$, $h(t)$ (donc leur carré) sont prolongeables par continuité en $0$, ainsi les intégrales convergent et l’égalité (1) est démontrée.

(e) Les termes du membres de droite de (1) sont tous positifs. Ainsi comme $\int_{0}^{\infty}(f’(t))^{2}dt$ est convergente, on a pour tout $x>0$ $$ \int_{0}^{x}\Big(\frac{f(t)}{t}\Big)^{2}dt \leq \int_{0}^{x}(f’(t))^{2}dt \leq \int_{0}^{\infty}(f’(t))^{2}dt. $$ La fonction $\Big(\frac{f(t)}{t}\Big)^{2}$ étant positive, l’inégalité précédente permet de conclure.

V] Polynôme dérivé — lien avec les racines multiples.

1) Polynôme dérivé. définition, propriétés

Dérivées successives, dérivée k-ème de .

Formule de Leibniz (non démontrée)

Polynôme composé

Formule de Taylor pour un polynôme.

2) Lien entre zéros multiples et dérivée

Si est racine de d’ordre , alors est racine de d’ordre .

Attention pour la réciproque il faut savoir que est racine de .

Théorème. admet comme racine d’ordre () si et seulement si les polynômes ,…, admettent comme racine et .

Bonus track

Relations entre les zéros d’un polynôme et ses coefficients.

Décomposition en produit de facteurs irréductibles. Théorème. Tout polynôme non irréductible unitaire se décompose de manière unique à l’ordre près en un produit de polynômes irréductibles unitaires.

Corollaire. Version non unitaire.

Remarque. Version où on regroupe les facteurs irréductibles identiques.

Théorème. Les polynômes de degré 1 sont irréductibles.

IV] Racines

1) Fonction polynôme. définition, définition de racine d’un polynôme

Théorème. est racine de si et seulement divise .

Extension. racine multiple.

Théorème. décomposition d’un polynôme selon les racines que l’on connait.

Corrolaire. Un polynôme de degré admet au plus racines.

Cas complexe.

Théorème de d’Alembert Gauss. Tout polynôme à coefficient complexe de degré supérieur à 1 admet au moins une racine complexe.

Corollaire. Les seuls polynômes complexes irréductibles sont de degré 1.

Conséquence. Tout polynôme complexe se factorise en . (ou la version où on regroupe les racines communes).

Cas réel

Partant du fait que est irréductible dans on cherche à déterminer les polynômes irréductibles réels.

Proposition. Si alors pour tout on a .

Application 1 Soit localement intégrable sur .

• S’il existe tel que alors converge.
• S’il existe tel que alors diverge.

Remarque. Chercher deux exemples de fonctions telles que tend vers 0 en l’infini avec dans un cas l’intégrale convergente et dans l’autre l’intégrale divergente. (exemple donner en cours).

Applications 2. l’analogue mais comportement en 0.

III] Fonctions quelconques.

Remarque, exemple Sans information sur le signe tout devient plus dur. En effet on peut trouver deux fonctions équivalentes à l’infini mais avec des intégrales n’étant pas de même nature.

1) Intégration par partie. sous quelle condition a-t-on le droit de faire une intégration par partie avec des intégrales généralisées ?

2) Changement de variables. Idem

3) Règle d’Abel. (le truc de la dernière chance !)

Théorème. Soit définie de dans continue par morceaux telle que

• positive
• décroissante
• tend vers 0 en l’infini.

Soit une fonction continue sur le même intervalle telle qu’il existe vérifiant : pour tout on a .
Alors converge.

Lemme. Une autre formule de la moyenne.

Théorème. est intégrable au sens généralisée sur si et seulement si la fonction est bornée sur .

Remarque. Si est positive et diverge alors tend vers l’infini quand tend vers .

1) Intégrales de Références. (à savoir, comme le reste)

Intégrales de Riemann et intégrales de Bertrand.

Remarque contre-exemple. si est positive et convergente alors n’admet pas nécessairement une limite en l’infini !

2) Comparaison.

Théorème. Si et sont positives telles que alors
a) converge entraîne
b) la contraposée de a)

3) Critère de domination et d’équivalence.

Rappel. O, o (notation de Landau) ou domination, équivalence de fonctions.

Théorème. Si et sont positives telles que en alors converge entraîne converge.

Proposition. Une fonction définie (et localement intégrable) de dans est intégrable au sens généralisé sur si et seulement si il existe et tels que les intégrales généralisées et existent.

Proposition. idem ssi l’est sur et sur pour tout dans .

Extension : intégrales plusieurs fois impropres

Remarque. méthodologie

Proposition. Si est bornée sur et localement intégrable on peut prolonger en une fonction intégrable sur et donc est intégrable au sens généralisé sur .

2) Critère de Cauchy pour les intégrales généralisées — convergence absolue

Théorème. est intégrable au sens généralisé si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy.

Définition. Qu’est-ce qu’une intégrale généralisée absolue convergente ?

Définition. Absolument convergente entraîne convergente.

Remarque. Réciproque fausse, exemple donné en cours.

3) Propriétés diverses sur les combinaisons linéaires d’intégrales (absolument) convergentes.

I] Définition 1) Définition d’un polynôme

Définitions (avec la suite infinie d’éléments du corps dont les éléments sont tous nuls à partir d’un certain rang), polynôme nul, dégré valuation, égalité de deux polynômes

2) Opérations sur les polynômes

Somme, produit interne, multiplication par un scalaire C’est un anneau commutatif intègre.

3) Notation définitive Écriture avec des (Ouf !)

Définition Coefficient dominant, polynôme unitaire, les constantes.

II) Les deux divisions

Rappels sur la divisibilté

Division euclidienne ou suivant les puissances décroissantes non démontré, exemple détaillé

Division suivant les puissances croissantes à l’ordre non démontré, exemple détaillé

III) Anneau principal — PGCD — PPCM — irréductible

Théorème est un anneau principal + unicité si on impose le polynôme unitaire.

Définition Qu’est-ce que deux éléments associés ?

Définition Qu’est-ce qu’un idéal principal ?

Définition Qu’est-ce qu’un anneau principal ?

PGCD, PPCM, élément irréductible dans un anneau intègre

Définitions. PGCD et PPCM d’une famille d’éléments.

Remarque. il n’est pas démontrer que le PGCD et PPCM existent !

Définition. Éléments premiers entre eux, élément irréductible.

Cas des anneaux principaux

Dans un anneau principal le PGCD et PPCM de deux éléments (non nuls) existent et est unique à une association près. De plus on a l’identité de Bezout.

Lemmes de Gauss, Euclide

PGCD, PPCM dans . Division euclidienne et algorithme d’Euclide. (fin laborieuse !)

V) Interprétation géométrique et calcul approché.

1) Aire (algèbrique) du domaine représente .

2)Calcul approché, méthode des rectangles et des trapèzes, estimations de l’erreur sous des hyphothèses de régularité sur .

Chapitre 2 — Intégrales généralisées ou intégrales impropres

Intégrales généralisées.

1) Définitions.

Soit une fonction définie de l’intervalle dans avec ou . On dit que est localement intégrable sur si pour tout est intégrable .

Définition. (intégrale une seule fois impropre) Soit une fonction localement intégrable sur . On dit que est intégrable au sens généralisé de Riemann si existe. On note cette limite .

Remarque. Si est Riemann intégrable sur l’intervalle alors (bien sûr) la restricition de sur est intégrable au sens généralisé de Riemann.

Remarque. Dans toute la suite (exercice, examen, etc) il faudra montrer que l’existence de cette intégrale généralisée avant tout calcul, manipulation, etc.

Remarque. Définition analogue pour un intervalle du type avec ou .