Interpolation de Lagrange aux points équidistants

Le choix des points est une question difficile. Si [a,b] est l’intervalle, un choix naturel est celui des points équidistants, xi=a+(b-a)i/n, où n+1 sera le nombre de points. Les graphiques sont toujours produits avec Asymptote.

Exemple 1 : la fonction de Runge f(x)=1/(x^2+1)

La fonction f est une fonction très régulière, indéfiniment dérivable. Pour n=15 voici ce qui se passe :

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Si n augmente on s’attend naturellement à voir le polynôme se rapprocher uniformément de la fonction f.

runge1a.gif Non ce n’est pas ce qui se passe !

Exemple 2 : la fonction f(x)=cos(x)

On peut démontrer (voir T.D.) que pour la fonction cosinus, la suite des polynômes d’interpolation de Lagrange aux points équidistants converge uniformément vers f sur [a,b]. Prenons ici a=-5, b=5 et n=16 on obtient

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Pour une valeur de n exagérée, par exemple n=72 on remarque un phénomène qui n’a rien à voir avec le phénomène de Runge observé pour la fonction 1/(x^2+1) : ici c’est juste les limites du calcul avec 16 chiffres significatifs, ce qu’a calculé l’ordinateur en arithmétique approchée n’a rien à voir avec la véritable valeur du polynôme près des bords — dans le calcul des différences divisées on divise par des quantités très petites. Prendre n=72 n’a pas de sens ici !

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Interpolation de Lagrange aux points de Tchebychev

Exemple 1 : la fonction de Runge f(x)=1/(x^2+1)

Reprenons la fonction f(x)=1/(x^2+1) sur l’intervalle [-5,5] et observons ce qui se passe pour n=16 et n=26.

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On remarque que les points de Tchebychev sont plus concentrés sur les bords de l’intervalle et il ne semble pas y avoir d’effet de Runge. En effet on démontre que la suite des polynômes d’interpolation de Lagrange aux points de Tchebychev converge uniformément vers la fonction interpolée dès que celle-ci est Lispchitz.

Exemple 2 : la fonction f(x)=|x-1|^{1/2}

La fonction f(x)=|x-1|^{1/2} est juste Lipschitzienne sur l’intervalle [-2,2] : en 1 elle n’est pas dérivable. Voyons ce que donne l’interpolation pour n=30 :

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Interpolation d’Hermite aux points équidistants

Qu’en est-il de l’interpolation d’Hermite et de l’effet de Runge ? Ci-dessous on interpole f et sa dérivée aux points équidistants et on constate numériquement un phénomène de Runge toujours pour la fameuse fonction f(x)=1/(x^2+1)

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