Archive pour décembre, 2007
Intégrale, exos 1 et 2, sept 2007
25 décembre 2007Voici une correction rapide, attention c’est du AsciiMathML, I.E. (sans plugin) s’abstenir ! Exercice 1 (a) Pour tout $p$ la fonction $x^{p}/(1+x^{2})$ est définie continue sur $[0,1]$, donc intégrable. Pour $I_{0}$ on reconnaît la fameuse $\arctan$ et pour $I_{1}$ c’est facile $$ I_{0}=\arctan x\Big]_{0}^{1}=\frac{\pi}{4},\qquad […]
Semaine 9, L2 Algèbre
4 décembre 2007Caractérisation des polynômes irréductibles de : les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 n’admettant pas de racine réelle. V] Polynôme dérivé — lien avec les racines multiples. 1) Polynôme dérivé. définition, propriétés Dérivées successives, dérivée k-ème de . Formule de Leibniz (non démontrée) Polynôme composé Formule de Taylor pour un polynôme. 2) Lien entre zéros multiples […]
Semaine 8, L2 Algèbre
3 décembre 2007Conséquences. PGCD, PPCM, Lemme de Gauss, Lemme d’Euclide, Théorème de Bezout, Algorithme d’Euclide pour les polynômes. Décomposition en produit de facteurs irréductibles. Théorème. Tout polynôme non irréductible unitaire se décompose de manière unique à l’ordre près en un produit de polynômes irréductibles unitaires. Corollaire. Version non unitaire. Remarque. Version où on regroupe les facteurs irréductibles identiques. Théorème. Les polynômes de degré 1 […]
Semaine 8, L2 Intégrales
3 décembre 2007Théorème. Si et sont positives et équivalentes au voisinage de alors et sont de même nature. Application 1 Soit localement intégrable sur .
S’il existe tel que alors converge.
S’il existe tel que alors diverge.
Remarque. Chercher deux exemples de fonctions telles que […]
Semaine 7, L2 Intégrales
3 décembre 2007II) Convergence des intégrales de fonctions positives Théorème. est intégrable au sens généralisée sur si et seulement si la fonction est bornée sur . Remarque. Si est positive et diverge alors tend vers l’infini quand tend vers . 1) Intégrales de Références. (à savoir, comme le reste) Intégrales de Riemann et intégrales […]