Archive pour 'L2' Catégorie
Intégrale, exos 1 et 2, sept 2007
25 décembre 2007Voici une correction rapide, attention c’est du AsciiMathML, I.E. (sans plugin) s’abstenir ! Exercice 1 (a) Pour tout $p$ la fonction $x^{p}/(1+x^{2})$ est définie continue sur $[0,1]$, donc intégrable. Pour $I_{0}$ on reconnaît la fameuse $\arctan$ et pour $I_{1}$ c’est facile $$ I_{0}=\arctan x\Big]_{0}^{1}=\frac{\pi}{4},\qquad […]
Semaine 9, L2 Algèbre
4 décembre 2007Caractérisation des polynômes irréductibles de : les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 n’admettant pas de racine réelle. V] Polynôme dérivé — lien avec les racines multiples. 1) Polynôme dérivé. définition, propriétés Dérivées successives, dérivée k-ème de . Formule de Leibniz (non démontrée) Polynôme composé Formule de Taylor pour un polynôme. 2) Lien entre zéros multiples […]
Semaine 8, L2 Algèbre
3 décembre 2007Conséquences. PGCD, PPCM, Lemme de Gauss, Lemme d’Euclide, Théorème de Bezout, Algorithme d’Euclide pour les polynômes. Décomposition en produit de facteurs irréductibles. Théorème. Tout polynôme non irréductible unitaire se décompose de manière unique à l’ordre près en un produit de polynômes irréductibles unitaires. Corollaire. Version non unitaire. Remarque. Version où on regroupe les facteurs irréductibles identiques. Théorème. Les polynômes de degré 1 […]
Semaine 8, L2 Intégrales
3 décembre 2007Théorème. Si et sont positives et équivalentes au voisinage de alors et sont de même nature. Application 1 Soit localement intégrable sur .
S’il existe tel que alors converge.
S’il existe tel que alors diverge.
Remarque. Chercher deux exemples de fonctions telles que […]
Semaine 7, L2 Intégrales
3 décembre 2007II) Convergence des intégrales de fonctions positives Théorème. est intégrable au sens généralisée sur si et seulement si la fonction est bornée sur . Remarque. Si est positive et diverge alors tend vers l’infini quand tend vers . 1) Intégrales de Références. (à savoir, comme le reste) Intégrales de Riemann et intégrales […]
Semaine 6, L2 Intégrales
15 novembre 2007Extension. Définition de l’intégrale généralisée aux 2 bornes Proposition. Une fonction définie (et localement intégrable) de dans est intégrable au sens généralisé sur si et seulement si il existe et tels que les intégrales généralisées et existent. Proposition. idem ssi l’est sur et sur pour tout dans […]
Semaine 7, L2 Algèbre
15 novembre 2007NOUVEAU CHAPITRE : LES POLYNÔMES I] Définition 1) Définition d’un polynôme Définitions (avec la suite infinie d’éléments du corps dont les éléments sont tous nuls à partir d’un certain rang), polynôme nul, dégré valuation, égalité de deux polynômes 2) Opérations sur les polynômes Somme, produit interne, multiplication par un scalaire C’est un anneau commutatif intègre. 3) […]
Semaine 6, L2 Algèbre
13 novembre 2007Proposition. divise si et seulement si Définition Qu’est-ce que deux éléments associés ? Définition Qu’est-ce qu’un idéal principal ? Définition Qu’est-ce qu’un anneau principal ? PGCD, PPCM, élément irréductible dans un anneau intègre Définitions. PGCD et PPCM d’une famille d’éléments. Remarque. il n’est pas démontrer que le PGCD et PPCM existent ! Définition. Éléments premiers entre eux, élément […]
Semaine 5, L2 Intégrales
30 octobre 2007suite et fin : Inégalité de Taylor-Lagrange
V) Interprétation géométrique et calcul approché.
1) Aire (algèbrique) du domaine représente .
2)Calcul approché, méthode des rectangles et des trapèzes, estimations de l’erreur sous des hyphothèses de régularité sur .
Chapitre 2 — Intégrales généralisées ou intégrales impropres
Intégrales généralisées.
1) Définitions. Soit une fonction définie de l’intervalle […]
Semaine 5, L2 Algèbre
30 octobre 2007suite sur les anneaux Définition. Qu’est-ce qu’un morphisme d’anneau, isomorphisme, morphisme d’anneau unitaire ? Définition. Qu’est-ce qu’un sous-anneau ? Proposition. L’intersection d’une famille de sous-anneau est un sous-anneau.
Conséquence, définition. Le sous-anneau engendré par une partie non vide est l’intersection des sous-anneaux qui contiennent la partie . Deux sous anneaux triviaux: lui-même et 2) Diviseur de zéro — anneau […]