Olivier Guibé » Blog Archives » Semaine 7, L2 Intégrales

3 décembre 2007

II) Convergence des intégrales de fonctions positives

Théorème. est intégrable au sens généralisée sur delim{[}{a,b}{[} si et seulement si la fonction F(x)=int{a}{x}{f(t)dt} est bornée sur .

Remarque. Si est positive et int{a}{b}{f(t)dt} diverge alors int{a}{x}{f(t)dt} tend vers l’infini quand tend vers .

1) Intégrales de Références. (à savoir, comme le reste)

Intégrales de Riemann et intégrales de Bertrand.

Remarque contre-exemple. si est positive et int{a}{b}{f(t)}dt convergente alors n’admet pas nécessairement une limite en l’infini !

2) Comparaison.

Théorème. Si et sont positives telles que f le g alors
a) int{a}{b}{g(t)dt} converge entraîne int{a}{b}{f(t)dt}
b) la contraposée de a)

3) Critère de domination et d’équivalence.

Rappel. O, o (notation de Landau) ou domination, équivalence de fonctions.

Théorème. Si et sont positives telles que f=O(g) en b^- alors int{a}{b}{g(t)dt} converge entraîne int{a}{b}{f(t)dt} converge.

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