question mesure
15 janvier 2007En réponse à cette question sur une l’union finie de `epsilon={ [alpha,beta[, a<=alpha<=beta<= b}` est une algèbre sur `[a,b[`. Notons `uu_(f) epsilon` cet ensemble. 1) `uu_(f) epsilon ` est bien non vide, par exemple `[a,b[ in uu_(f) epsilon`.
2) si `A` et `B` sont dans `uu_(f) epsilon` clairement `A uu B in uu_(f) epsilon` (l'union de deux unions finies reste une union finie !)
3) Montrons la stabilité par passage au complémentaire. On commence par remarquer que `[:}alpha,beta[:}^c=[a,alpha[ uu [beta,b[` qui appartient bien à `uu_(f) epsilon`. Pour le complémentaire d'une union finie on procède par récurrence. Si `A=uuu_(1 <= i <= n) [alpha_i, beta_i[` alors `A = B uu [alpha_n,beta_n[` avec `B=uuu_(1 <= i<= n-1) [alpha_i,beta_i[ `. Par hypothèse de récurrence `B^c in uu_(f) epsilon`, d'où `B=uuu_(1<= j<=p) [gamma_j,delta_j[`. Donc `A^c= B^c nn ([alpha_n,beta_n:}[:})^c=B^c nn ([:}a,alpha_1[:} uu [beta_1,b:}[:}) = uuu_(1<=j<=p) ([:}gamma_j,delta_j:}[:} nn ( [a,alpha_1:}[:} uu [beta_1,b:}[:}) )`.
Ensuite on constate que ` [gamma_j,delta_j:}[:} nn ( [a,alpha_1:}[:} uu [beta_1,b:}[:} =( [gamma_j,delta_j:}[:} nn [a,alpha_1:}[:} ) uu ([gamma_j,delta_j:}[:} nn [beta_1,b:}[:})`. Pour conclure il est facile en distinguant éventuellement les cas de montrer que ` [gamma_j,delta_j:}[:} nn [a,alpha_1:}[:}` est un élement de `uu_(f) epsilon` (de même pour `[gamma_j,delta_j:}[:} nn [beta_1,b:}[:}`). Finalement `A^c` est bien une union finie d'éléments de `uu_(f) epsilon`. Par récurrence on obtient la stabilité du passage au complémentaire.
2nde question : L’ensemble des unions finies d’intervalles ouverts de `RR` est-il une algèbre sur `RR` ? Non, il suffit de dire qu’un intervalle ouvert de `RR` est borné `a,b in RR`, Donc une union finie est bornée. Or `(]0,1[)^c=]-infty, 0] uu [1, infty[` est non borné (et même fermé).