Semaine 6, L2 Intégrales
15 novembre 2007Extension. Définition de l’intégrale généralisée aux 2 bornes
Proposition. Une fonction 
définie (et localement intégrable) de ![delim{]}{a,b}{[}](/wordpress/wp-content/plugins/phpmathpublisher/img/math_991.5_d3435d355c9a2a5496f0497a517ed497.png "delim{]}{a,b}{[}")
dans
est intégrable au sens généralisé sur si et seulement si
il existe 
et 
tels que les intégrales généralisées 
et 
existent.
Proposition. idem ssi l’est sur ![delim{]}{a,c}{]}](/wordpress/wp-content/plugins/phpmathpublisher/img/math_991.5_4538ac73fb018ce36967509874b374d4.png "delim{]}{a,c}{]}")
et sur 
pour tout 
dans .
Extension : intégrales plusieurs fois impropres
Remarque. méthodologie
Proposition. Si est bornée sur 
et localement intégrable on peut
prolonger en une fonction intégrable sur ![delim{[}{a,b}{]}](/wordpress/wp-content/plugins/phpmathpublisher/img/math_991.5_0e94005a5956c679066e170921261c3a.png "delim{[}{a,b}{]}")
et donc
est intégrable au sens généralisé sur .
2) Critère de Cauchy pour les intégrales généralisées — convergence absolue
Théorème. est intégrable au sens généralisé si et seulement si elle vérifie
le critère de Cauchy.
Définition. Qu’est-ce qu’une intégrale généralisée absolue convergente ?
Définition. Absolument convergente entraîne convergente.
Remarque. Réciproque fausse, exemple donné en cours.
3) Propriétés diverses sur les combinaisons linéaires d’intégrales (absolument) convergentes.