Devoir de vacances : question 2
4 janvier 2007Bien sûr $u_n(x)-u_n(x’)=\int_{nx’}^{nx} \frac {\sin^2t} {n^2 \sin^2 ( \frac{t}{n}n ) } dt$.
En supposant que `x lt x’` si `t in [nx,nx’]` alors `frac t n in [x,x’]`. Comme `0 lt x lt pi`, une petite étude de la fonction sinus nous dit que pour `s in [x,x’]` on a `sin s >= min (sin x, sin x’)`. Ainsi il existe une constante `eta > 0` telle que (après quelques calculs)
`|u_n(x)-u_n(x’) | lt= | int_(nx’)^(nx) frac (sin^2t) (n^2 eta) dt |lt= frac (nx’-nx) (n^2 eta) lt= frac (x’-x) (n eta)`
Il suffit de faire tendre $n$ vers $\infty$.
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