Devoir de vacances : question 3
5 janvier 2007Pour le a), $\phi$ positive vient du fait `0 lt sin t lt= t` pour `0 lt t lt= pi/2` (savez-vous le démontrer ?). La continuité vient du fait que l’on a affaire à des fonctions usuelles continues non nulles donc d’inverses continues….
Pour la limite, il faut connaître le D.L. de $\sin u$ à l’ordre 3. $\sin t = t -t^3/3 +o(t^4)$, d’où $\sin^2u= u^2- \frac {2u^4}{ 6} + o(u^4)$. Ainsi
`phi(u)= frac (sin^2 u - u^2) (u^2 sin^2 u)= frac ( u^4/3 + o(u^4) ) (u^2 sin^2 u)`.
Sachant que `sin u ~~ u` pour $u$ au voisinage de 0. On obtient alors que `lim_(u->0) phi(u)=1/3`..
$\phi$ est continue sur $]0,\pi/2]$, admet une limite (finie) en 0. Donc $\phi$ est bornée sur l’intervalle $]0,\pi/2]$, $\phi$ est même prolongeable par continuité en 0 avec $\phi(0)=1/3$.
Pour le b) voir plus tard…