Devoir de vacances : question 3 b)
9 janvier 2007Cette question se fait en deux étapes. La première consiste à prendre $x_0$ dans l’intervalle $]0, \pi/2 ]$ et à montrer que $u_n(x_0)-v_n(x_0)$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l’infini. Comme $\lim_{n \rightarrow \infty} v_n(x_0)=\int_0^\infty \frac {sin^2 t}{t^2} dt$ on en déduit le résultat pour $x_0$ dans $]0, \pi /2]$. La deuxième étape est plus simple : il suffit d’utiliser la question 2) et ce qui vient d’être fait pour conclure.
Quelques détails pour la première étape : après changement de variable (évident)
`u_n(x_0)-v_n(x_0)= frac 1 n int_0^(x_0) sin^2(un) xx phi(u) du`
D’après 3 a) la fonction $\phi$ étant bornée, et la fonction $\sin$ aussi on obtient assez facilement que
`lim_(n->infty) frac 1 n int_0^(x_0) sin^2(un) xx phi(u) du=0`.