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Semaine 2, L2 Algèbre

3 octobre 2007

Bonjour

Voici ce qui a été fait en cours:

Démonstration du Théorème de Lagrange

Définition de l’ordre d’un élément

Groupe quotient

Définition. Une relation d’équivalence R est dite compatible avec la loi ast si xRy et zRw entraînent (x ast z) R(y ast w)

Théorème. Si R est une relation d’équivalence compatible avec ast ((G,ast) groupe) alors l’ensemble quotient G sash R muni de la l.c.i, cl(x)Tcl(y)=cl(x ast y), est un groupe

Application. Si (G,ast ) est abélien et H sous groupe de G définition de la relation modulo H ( x R_H y ssi x ast y^{-1} dans H), compatible avec ast.

On note G sash H l’ensemble G sash R, qui est un groupe muni de la loi définie dans le théorème précédent.

Description des classes d’équivalence

Exemple (détaillé?!). (bbZ sash 2 bbZ, +)

7) Décomposition canonique d’un morphisme de groupe

Théorème. Sif morphisme de groupe de (G,ast) dans (G prime, . ) (groupes supposés abéliens) alors G sash ker f et Im f sont isomorphes.

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