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Semaine 1, L2 Intégrales

5 octobre 2007

I] Intégrale et fonctions en escalier

1) Définitions

Définition : subdivision d’une subdivision (ou partage) d’un intervalle delim{[}{a,b}{]}

Définition : qu’est-ce qu’une fonction en escalier définie de delim{[}{a,b}{]} dans bbR ?

Définition : qu’est-ce qu’une subdivision adaptée à une fonction en escalier

Relation d’ordre sur l’ensemble des subdivision d’un intervalle

Conséquences : si et sont deux subdivisions on définit la plus fine des deux et la plus grossière des deux. La plus fine étant “grosso-modo” la réunion des deux (attention c’est une suite ordonnée) et la plus grossière étant l’intersection (nécessairement non vide car les deux extrémités sont des points de la subdivision).

Propriétés des fonctions en escalier
Il suffit de faire un dessin pour se convaincre que si f,g sont deux fonctions en escalier sur delim{[}{a,b}{]} et lambda un réel alors

est une fonction en escalier
est une fonction en escalier
est une fonction en escalier
est une fonction en escalier

Remarque L’ensemble des fonctions en escalier est une algèbre

2) Intégrale d’une fonction en escalier

Définition Si est une fonction en escalier et $s=(x_i )_{0 le i le n}$ une subdivision adaptée à alors la quantité
$sum{i=0}{n-1}{(x_{i+1}-x_i ) a_i}$ où a_i est la valeur constante prise par sur l’intervalle $delim{]}{x_i,x_{i+1}}{[}$ , ne dépend que de et en aucun cas de la subdvision. Cette somme est l’intégrale de à de et se note int{a}{b}{f(t) dt} .
il faut bien voir/comprender/savoir démontrer que la quantité ainsi définie ne dépend pas de la subdivision choisie !

Propriétés :

si sont deux fonctions en escalier sur coïncidant sauf en un nombre fini de points alors leur intégrale sur l’intervalle sont égales
l’application qui à une fonction en escalier associe son intégrale est une application linéaire
si est positive alors son intégrale l’est aussi

Relation de Chasles. Comme la restriction d’un fonction en escalier sur [a,b] à un sous intervalle est encore en escalier on démontre
int{a}{b} f(t)dt= int{a}{c} f(t) dt + int{c}{b} f(t) dt

II] Intégrabilité au sens de Riemann

1) Définition

Définition Soit une fonction définie de delim{[}{a,b}{]} dans bbR . Cette fonction est dite Riemann-intégrable si et seulement si l’une des deux conditions équivalentes est vérifiée

(A) pour tout strictement positif il existe $varphi_{varepsilon}, psi_{varepsilon}$ en escalier sur telles que pour tout dans on a
$delim{|}{f(x)-varphi_{varepsilon}(x)}{|} le psi_{varepsilon}(x)$ et $int{a}{b}{ psi_{varepsilon}(x) dx} le varepsilon$
(B) il existe deux suites de fonctions en escalier telles que pour tout et pour tout on a
$delim{|}{f(x)-varphi_{n}(x)}{|} le psi_{n}(x)$ et $lim{n right infty}{int{a}{b}{ psi_n (x) dx}}=0$

Quand une des propriétés équivalents (A) ou (B) est vérifiée et pour toute suite varphi_n associée à définie par (B) on démontre que la quantité $int{a}{b}{ varphi_n(t) dt}$ converge vers un réel qui ne dépend pas du choix de la suite mais qui dépend uniquement de et est noté int{a}{b}{f(x)dx} .

Remarque. Si est en escalier alors elle est intégrable au sens de Riemann (heureusement) et les notations introduites sont compatibles.

Proposition. Si une fonction est Riemann intégrable alors elle est bornée.

Lemme. Soit une fonction définie de delim{[}{a,b}{]} dans bbR . La fonction est Riemann intégrable si et seulement si pour tout $varphi_{varepsilon}, psi_{varepsilon}$ telles que

$varphi_{varepsilon} le f le psi_{varepsilon}$ sur
$int{a}{b}{(psi_{varepsilon}-varphi_{varepsilon})(t) dt} le varepsilon$

2) Propriétés

l’application qui à une fonction Riemann-intégrable associe son intégrale est une application linéaire
Si est positive et Riemann intégrable il en est de même pour son intégrale
si est Riemann intégrable alors est Riemann intégrable et
Si est Riemann intégrable et si est une fonction égale à partout (sur ) sauf en un nombre fini de points alors est Riemann intégrable et

Remarque : il faut bien comprendre que dans les deux dernières propriétés il y a d’une part une propriété qualitative ( delim{|}{f}{|} et sont Riemann-intégrables) et d’autre part une propriété quantitative (une inégalité et une égalité).

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