question mesure
janvier 15th, 2007
En réponse à cette question sur une l’union finie de `epsilon={ [alpha,beta[, a<=alpha<=beta<= b}` est une algèbre sur `[a,b[`. Notons `uu_(f) epsilon` cet ensemble. 1) `uu_(f) epsilon ` est bien non vide, par exemple `[a,b[ in uu_(f) epsilon`.
2) si `A` et `B` sont dans `uu_(f) epsilon` clairement `A uu B in uu_(f) epsilon` (l'union de deux unions finies reste une union finie !)
3) Montrons la stabilité par passage au complémentaire. On commence par remarquer que `[:}alpha,beta[:}^c=[a,alpha[ uu [beta,b[` qui appartient bien à `uu_(f) epsilon`. Pour le complémentaire d'une union finie on procède par récurrence. Si `A=uuu_(1 <= i <= n) [alpha_i, beta_i[` alors `A = B uu [alpha_n,beta_n[` avec `B=uuu_(1 <= i<= n-1) [alpha_i,beta_i[ `. Par hypothèse de récurrence `B^c in uu_(f) epsilon`, d'où `B=uuu_(1<= j<=p) [gamma_j,delta_j[`. Donc `A^c= B^c nn ([alpha_n,beta_n:}[:})^c=B^c nn ([:}a,alpha_1[:} uu [beta_1,b:}[:}) = uuu_(1<=j<=p) ([:}gamma_j,delta_j:}[:} nn ( [a,alpha_1:}[:} uu [beta_1,b:}[:}) )`.
Ensuite on constate que ` [gamma_j,delta_j:}[:} nn ( [a,alpha_1:}[:} uu [beta_1,b:}[:} =( [gamma_j,delta_j:}[:} nn [a,alpha_1:}[:} ) uu ([gamma_j,delta_j:}[:} nn [beta_1,b:}[:})`. Pour conclure il est facile en distinguant éventuellement les cas de montrer que ` [gamma_j,delta_j:}[:} nn [a,alpha_1:}[:}` est un élement de `uu_(f) epsilon` (de même pour `[gamma_j,delta_j:}[:} nn [beta_1,b:}[:}`). Finalement `A^c` est bien une union finie d'éléments de `uu_(f) epsilon`. Par récurrence on obtient la stabilité du passage au complémentaire.
2nde question : L’ensemble des unions finies d’intervalles ouverts de `RR` est-il une algèbre sur `RR` ? Non, il suffit de dire qu’un intervalle ouvert de `RR` est borné `a,b in RR`, Donc une union finie est bornée. Or `(]0,1[)^c=]-infty, 0] uu [1, infty[` est non borné (et même fermé).
Suppression de asciimathphp
janvier 15th, 2007
J’ai installé un autre thème (fenêtre plus large mais pas entièrement francisé). Comme j’avais des problèmes avec le plugin asciimathphp (ne fonctionne plus) j’ai supprimé ce plugin. Dorénavant si vous voulez inclure des commentaires avec des mathématiques –presque agréables– n’utilisez que le plugin asciimathml, i.e. formule entre deux \$.
Pour favoriser les commentaires, je prévois de traduire la page web sur ascimathml. N’oubliez pas que pour visionner correctement les formules vous devez utiliser Firefox (ou à la rigueur I.E. avec le plugin Mathplayer). N’hésitez pas à me contacter en cas de problème.
Devoir de vacances : question 3 b)
janvier 9th, 2007
Cette question se fait en deux étapes. La première consiste à prendre $x_0$ dans l’intervalle $]0, \pi/2 ]$ et à montrer que $u_n(x_0)-v_n(x_0)$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l’infini. Comme $\lim_{n \rightarrow \infty} v_n(x_0)=\int_0^\infty \frac {sin^2 t}{t^2} dt$ on en déduit le résultat pour $x_0$ dans $]0, \pi /2]$. La deuxième étape est plus simple : il suffit d’utiliser la question 2) et ce qui vient d’être fait pour conclure.
Quelques détails pour la première étape : après changement de variable (évident)
`u_n(x_0)-v_n(x_0)= frac 1 n int_0^(x_0) sin^2(un) xx phi(u) du`
D’après 3 a) la fonction $\phi$ étant bornée, et la fonction $\sin$ aussi on obtient assez facilement que
`lim_(n->infty) frac 1 n int_0^(x_0) sin^2(un) xx phi(u) du=0`.
Devoir de vacances : question 3
janvier 5th, 2007
Pour le a), $\phi$ positive vient du fait `0 lt sin t lt= t` pour `0 lt t lt= pi/2` (savez-vous le démontrer ?). La continuité vient du fait que l’on a affaire à des fonctions usuelles continues non nulles donc d’inverses continues….
Pour la limite, il faut connaître le D.L. de $\sin u$ à l’ordre 3. $\sin t = t -t^3/3 +o(t^4)$, d’où $\sin^2u= u^2- \frac {2u^4}{ 6} + o(u^4)$. Ainsi
`phi(u)= frac (sin^2 u - u^2) (u^2 sin^2 u)= frac ( u^4/3 + o(u^4) ) (u^2 sin^2 u)`.
Sachant que `sin u ~~ u` pour $u$ au voisinage de 0. On obtient alors que `lim_(u->0) phi(u)=1/3`..
$\phi$ est continue sur $]0,\pi/2]$, admet une limite (finie) en 0. Donc $\phi$ est bornée sur l’intervalle $]0,\pi/2]$, $\phi$ est même prolongeable par continuité en 0 avec $\phi(0)=1/3$.
Pour le b) voir plus tard…
Devoir de vacances : question 2
janvier 4th, 2007
Bien sûr $u_n(x)-u_n(x’)=\int_{nx’}^{nx} \frac {\sin^2t} {n^2 \sin^2 ( \frac{t}{n}n ) } dt$.
En supposant que `x lt x’` si `t in [nx,nx’]` alors `frac t n in [x,x’]`. Comme `0 lt x lt pi`, une petite étude de la fonction sinus nous dit que pour `s in [x,x’]` on a `sin s >= min (sin x, sin x’)`. Ainsi il existe une constante `eta > 0` telle que (après quelques calculs)
`|u_n(x)-u_n(x’) | lt= | int_(nx’)^(nx) frac (sin^2t) (n^2 eta) dt |lt= frac (nx’-nx) (n^2 eta) lt= frac (x’-x) (n eta)`
Il suffit de faire tendre $n$ vers $\infty$.
mathml (bis)
janvier 4th, 2007
Installation du plugin asciimathml, toujours pour avoir la même formule
$x^2+y^2$
Par rapport à asciimathphp c’est plus simple, on tape la formule entre deux \$, i.e. \$x^2+y^2\$ donne ce qui est au dessus. En asciimathphp les formules sont entre deux `[asciimath]`.
Les commentaires sont acceptés, après une première modération. Bien sûr l’utilisation de formules facilitera la compréhension, soit en asciimathml voir http://www1.chapman.edu/~jipsen/mathml/asciimath.html en tapant les formules entre deux \$ (ou deux \`), soit en asciimathphp en insérant la formule entre `[asciimath]` et `[//asciimath]`. La différence est que pour asciimathml c’est votre machine et javascript qui exécute la transformation et donc la visualisation et en asciimathphp c’est cette machine (enfin je crois !).
Devoir de vacances : question 1
janvier 1st, 2007
Attention $x=\pi$ est un cas particulier pour $u_n(x)$ à étudier. Hormis ce cas, les fonctions à intégrer sont continues sur $]0,nx]$.
En 0 il faut justifier à l’aide du cours que les intégrales sont bien définies. Pour cela il suffit de se rappeler que $\frac {\sin t}{t} $ tend vers $1$ quand $t$ tend vers $0$. Ainsi à une bonne rédaction près les fonctions à intégrer se prolongent par continuité en $0$ et les intégrales existent.
Pour $u_n(\pi)$ et le problème en $n \pi$, c’est \du même acabit via un changement de variable adéquat.
La quantité $x$ étant fixée pourquoi $v_n$ admet une limite quand $n$ tend vers l’infini ? Parce que l’on divise une fonction bornée par $t^2$…
La fraction rationnelle du matin
décembre 19th, 2006
Finalement les calculs étaient justes :
$\frac{X^5+2}{(X^2+1)(X^2+X+1)(X^2-1)} = \frac{1}{4(X-1)}-\frac{1}{4(X+1)}+\frac{2X-1}{X^2+1}-\frac{1}{X^2+X+1}$
mathml
décembre 16th, 2006
Insertion du plugin asciimathphp pour avoir la formule [asciimath] x^2+y^2 [/asciimath]
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