Semaine 3, L2 Algèbre
12 octobre 20078 ) 
et groupe cyclique
Théorème. Les sous-groupes de 
sont
de la forme 
, 
élément de 
.
Rmq. On note 
la l.c.i sur 
donnée
par un théorème du cours.
Si 
alors possède exactement 
éléments,
ou encore noté 
Application. Un groupe cyclique fini d’ordre est isomorphe
à 
et un groupe cyclique infini est isomorphe à .
9) Le groupe symétrique
Définition. L’ensemble des permutations de 
(i.e. bijection de dans lui-même) muni
de la composition des applications est un groupe
appelé groupe symétrique 
.
Rmq: Si 
le groupe est non commutatif.
Notation-exemple. écriture d’une permutation de 
sous forme de tableau, la 1ère ligne étant les éléments de , la seconde
ligne étant les images 
:
Définitions. Soit 
un élément de
-
est point fixe de si 
. - support d’une permutation noté
(ou
encore le complémentaire des points fixes.)
Proposition. Soient 
et 
deux éléments de .
Alors 
.
Si de plus et sont à supports disjoints alors :
-
. -
. -
équivaut à 
et 
.
Définitions. Groupe monogène engendré par est d’ordre
fini. Ordre d’une permutation est l’ordre de 
.
Si appartient à on définit l’orbite de
selon par 
.
Exemple.
Définition. Cycle (ou permutation circulaire d’ordre 
)
Définition. Transposition