Semaine 3, L2 Algèbre
12 octobre 20078 ) et groupe cyclique
Théorème. Les sous-groupes de sont
de la forme
,
élément de
.
Rmq. On note la l.c.i sur
donnée
par un théorème du cours.
Si alors
possède exactement
éléments,
ou encore noté
Application. Un groupe cyclique fini d’ordre est isomorphe
à
et un groupe cyclique infini est isomorphe à
.
9) Le groupe symétrique
Définition. L’ensemble des permutations de
(i.e. bijection de
dans lui-même) muni
de la composition des applications est un groupe
appelé groupe symétrique
.
Rmq: Si le groupe est non commutatif.
Notation-exemple. écriture d’une permutation de
sous forme de tableau, la 1ère ligne étant les éléments de
, la seconde
ligne étant les images
:
Définitions. Soit un élément de
-
est point fixe de
si
.
- support d’une permutation noté
(ou encore le complémentaire des points fixes.)
Proposition. Soient et
deux éléments de
.
Alors
.
Si de plus
et
sont à supports disjoints alors :
-
.
-
.
-
équivaut à
et
.
Définitions. Groupe monogène engendré par est d’ordre
fini. Ordre d’une permutation est l’ordre de
.
Si
appartient à
on définit l’orbite de
selon
par
.
Exemple.
Définition. Cycle (ou permutation circulaire d’ordre )
Définition. Transposition