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Semaine 3, L2 Algèbre

12 octobre 2007

8 ) bbZ, bbZ sash n bbZ et groupe cyclique

Théorème. Les sous-groupes de (bbZ,+) sont de la forme a bbZ, a élément de bbN.

Rmq. On note + la l.c.i sur bbZ sash n bbZ donnée par un théorème du cours.

Si n ge 1 alors bbZ sash n bbZ possède exactement n éléments, cl(0), cl(1),..., cl(n-1) ou encore noté {0}over{.}, {1}over{.},..., {n-1}over{.}

Application. Un groupe cyclique fini d’ordre n est isomorphe à (bbZ sash n bbZ,+) et un groupe cyclique infini est isomorphe à (bbZ,+).

9) Le groupe symétrique

Définition. L’ensemble des permutations de delim{lbrace}{1,...,n}{rbrace} (i.e. bijection de delim{lbrace}{1,...,n}{rbrace} dans lui-même) muni de la composition des applications est un groupe appelé groupe symétrique (S_n, circ).

Rmq: Si n ge 3 le groupe est non commutatif.

Notation-exemple. écriture d’une permutation de S_n sous forme de tableau, la 1ère ligne étant les éléments de delim{lbrace}{1,...,n}{rbrace}, la seconde ligne étant les images delim{lbrace}{sigma(1),...,sigma(n)}{rbrace} : ({matrix{2}{5}{1 2 3 4 5  4 2 1 5 3}})

Définitions. Soit s un élément de S_n

Proposition. Soient s_1 et s_2 deux éléments de S_n. Alors supp ({s_1 circ s_2}) subset  supp(s_1) union supp(s_2). Si de plus s_1 et s_2 sont à supports disjoints alors :

Définitions. Groupe monogène engendré par s est d’ordre fini. Ordre d’une permutation est l’ordre de Gr(s). Si i appartient à delim{lbrace}{1,...,n}{rbrace} on définit l’orbite de i selon s par Omega_i=delim{lbrace}{s^k(i), ~k ~dans~ bbZ}{rbrace}.

Exemple.

Définition. Cycle (ou permutation circulaire d’ordre p)

Définition. Transposition

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