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Semaine 3, L2 Intégrales

16 octobre 2007

 III) Fonctions à valeurs complexes

Définition. Soit une fonction de à valeurs complexes. La fonction est intégrable au sens de Riemann si et seulement et (parties réelle et complexe de la fonction) sont intégrables au sens de Riemann sur l’intervalle . Dans ce cas on définit .

Propriétés. Les propriétés vues précédemment dans le cas des fonctions à valeurs réelles subsistent. De plus on a l’inégalité pour toute fonction à valeurs complexes intégrables sur l’intervalle

IV) Cauchy-Schwarz, Minkowski et inégalité de la moyenne

1) Cauchy-Scwarz et Minkowski

Proposition, inégalité de Cauchy-Schwarz. Soient et deux fonctions intégrables au sens de Riemann sur l’intervalle . Alors la fonction est intégrable et on a l’inégalité

Remarque. Le produit de deux fonctions intégrables est intégrable

Proposition, inégalité de Minkowski

2) Inégalité de la moyenne

Proposition. Soient et deux fonctions intégrables au sens de Riemann sur l’intervalle telles que . Alors on a l’inégalité Si de plus est continue alors il existe tel que

Définition. Soit une fonction continue sur (donc intégrable). Alors il existe tel que . Cette quantité est appelée valeur moyenne de .