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Semaine 2, L2 Intégrales

8 octobre 2007

Relation de Chasles. Soit f une fonction définie de delim{[}{a,b}{]} dans bbR. Soit c tel que a sle c sle b. Alors f est Riemann intégrable sur l’intervalle delim{[}{a,b}{]} si et seulement si f est Riemann intégrable sur l’intervalle delim{[}{a,c}{]} et sur delim{[}{c,b}{]}. De plus, dans ce cas, on a
int{a}{b}{f(x)dx}=int{a}{c}{f(x)dx}+int{c}{b}{f(x)dx}

Notation. Définition Si f est une fonction Riemann intégrable sur l’intervalle delim{[}{a,b}{]} alors on note int{b}{a}{f(x)dx}=-int{a}{b}{f(x)dx}.

Exemples. Il n’y a pas que des fonctions Riemann intégrables !

Exemple 1. La fonction f définie sur delim{[}{0,1}{]} par f(x)=1 si x est dans bbR backslash bbQ et f(x)=0 sinon n’est pas Riemann intégrable.

Exemple 2. La fonction f définie sur delim{[}{0,1}{]} par f(x)=1 si x est dans bbR backslash bbQ, f(0)=0 et f(x)=1/q si x=p/q avec p,q dans N^ast premier entre eux, est Riemann intégrable.

Remarque. La composée de deux fonctions Riemann intégrables n’est pas nécessairement Riemann intégrable.

Exercice. Si f est Rieman intégrable de delim{[}{a,b}{]} dans bbR et si Phi est une fonction continue de bbR dans bbR alors Phi circ f est Riemann intégrable. On pourra commencer par le cas plus simple d’une fonction f positive et démontrer que sqrt{f} est Riemann intégrable.

3) Classes de fonctions Riemann intégrables

Les fonctions croissantes sont Riemann intégrables.

Les fonctions continues sur un intervalle delim{[}{a,b}{]} sont Riemann intégrables sur ce même intervalle.

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