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Semaine 4, L2 Intégrales

30 octobre 2007

Théorème. Si f est une fonction continue positive sur l’intervalle delim{[}{a,b}{]} alors f=0 (au sens est la fonction nulle) si et seulement si int{a}{b}{f(x)dx}=0.

IV) Dérivation et intégration.

Théorème (fondamental de l’analyse). Si f est une fonction intégrable sur l’intervalle delim{[}{a,b}{]} alors la fonction F définie sur delim{[}{a,b}{]} par F(x)=int{a}{x}{f(t)dt} (bien définie car f est intégrable sur delim{[}{a,x}{]} pour tout a le x le b) est une fonction continue sur delim{[}{a,b}{]}.
De plus si f est continue en x_0 alors F est dérivable en x_0 et F'(x_0)=f(x_0).

Définition. Si f est une fonction continue définie sur delim{[}{a,b}{]}, une primitive G est une fonction telle que G'(x)=f(x) pour tout x dans delim{[}{a,b}{]}.

Théorème. Toute fonction continue admet une primitive. De plus si G est une primitive alors il existe lambda dans bbR tel que G(x)+lambda=F(x) pour tout x dans delim{[}{a,b}{]} où F(x)=int{a}{x}{f(t)dt}.

Applications.

Formule d’intégration par partie

Exemples :

Formule de changement de variables

Remarque. Attention pour le calcul de primitive il faut s’assurer que la fonction varphi dans le changement de variable est une bijection.

Exemples :

Formule de Taylor-Lagrange avec reste intégrale.

Proposition. Soit f une fonction n+1 continument dérivable sur delim{[}{a,b}{]}. Alors on a
f(b)=f(a)+sum{k=1}{n}{{f^{(k)}(a)}/{k!}} + int{a}{b}{{(b-t)^n}/{n!} f^{(n+1)}(t)dt}

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