Olivier Guibé

Semaine 5, L2 Algèbre

octobre 30th, 2007

suite sur les anneaux

Définition. Qu’est-ce qu’un morphisme d’anneau, isomorphisme, morphisme d’anneau unitaire ?

Définition. Qu’est-ce qu’un sous-anneau ?

Proposition. L’intersection d’une famille de sous-anneau est un sous-anneau.

Conséquence, définition. Le sous-anneau engendré par une partie non vide est l’intersection des sous-anneaux qui contiennent la partie . Deux sous anneaux triviaux: lui-même et delim{lbrace}{varnothing}{rbrace}

2) Diviseur de zéro — anneau intègre

Dans la suite les anneaux considérés seront commutatifs et unitaires.

Définition. Un élément différent de 0_A est diviseur de zéro s’il existe un élément différent de 0_A tel que a*b=0_A .

Proposition Tout élément est régulier pour la loi si seulement si il n’est pas diviseur de zéro.

Définition. Un anneau (A,+,*) est un anneau intègre s’il est unitaire commutatif et ne possède aucun diviseur de zéro.

Remarque Dans un anneau intègre tout élément différent de 0_A est régulier.

3) Corps - élément inversible

Définition Qu’est-ce qu’un corps ?, un sous-corps ?

4) Idéal — anneau quotient.

Définition. Qu’est qu’un idéal ?

Théorème. L’image réciproque d’un idéal par un morphisme d’anneau est un idéal.

Remarque. Cependant l’image d’un idéal n’est pas en général un idéal. Chercher un contre-exemple !

Proposition. L’intersection d’une famille d’idéaux est un idéal.

Définition. Soit une partie non vide de . On appelle idéal engendré par l’intersection des idéaux contenant .

Anneau quotient

Définition Si idéal de l’anneau (A,+,*) on définit la relation “ congru à modulo ” ( a == b (mod I) ) par a-b in I .

Proposition. La relation ainsi définie est une relation d’équivalence sur compatible avec la loi (déjà connu d’après le cours sur les groupes) et avec la loi .

Théorème-définition L’ensemble quotient A sash I muni des lois cl(a)+cl(b)=cl(a+b) et cl(a)*cla(b)=cl(a*b) est un anneau appelé anneau quotient.

Exemple si n in bbN , ({bbZ sash n bbZ,+,*}) .

Divisibilité — anneau principal —

Définition. Que veut dire divise dans un anneau intègre ?

Proposition. (a)=aA où (a) désigne l’idéal engendré par delim{lbrace}{a}{rbrace} .

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Semaine 4, L2 Intégrales

octobre 30th, 2007

Théorème. Si est une fonction continue positive sur l’intervalle delim{[}{a,b}{]} alors f=0 (au sens est la fonction nulle) si et seulement si int{a}{b}{f(x)dx}=0 .

IV) Dérivation et intégration.

Théorème (fondamental de l’analyse). Si est une fonction intégrable sur l’intervalle delim{[}{a,b}{]} alors la fonction définie sur par F(x)=int{a}{x}{f(t)dt} (bien définie car est intégrable sur delim{[}{a,x}{]} pour tout a le x le b ) est une fonction continue sur .
De plus si est continue en x_0 alors est dérivable en x_0 et F'(x_0)=f(x_0) .

Définition. Si est une fonction continue définie sur delim{[}{a,b}{]} , une primitive est une fonction telle que G'(x)=f(x) pour tout dans .

Théorème. Toute fonction continue admet une primitive. De plus si est une primitive alors il existe lambda dans bbR tel que G(x)+lambda=F(x) pour tout dans delim{[}{a,b}{]} où F(x)=int{a}{x}{f(t)dt} .

Applications.

Formule d’intégration par partie

Exemples :

Formule de changement de variables

Remarque. Attention pour le calcul de primitive il faut s’assurer que la fonction varphi dans le changement de variable est une bijection.

Exemples :

Formule de Taylor-Lagrange avec reste intégrale.

Proposition. Soit une fonction n+1 continument dérivable sur delim{[}{a,b}{]} . Alors on a
$f(b)=f(a)+sum{k=1}{n}{{f^{(k)}(a)}/{k!}} + int{a}{b}{{(b-t)^n}/{n!} f^{(n+1)}(t)dt}$

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Semaine 4, L2 Algèbre

octobre 22nd, 2007

Théorème. Toute permutation se décompose en produit de cycles à supports disjoints. De plus si l’on exclut les cycles triviaux d’ordre 1, cette décomposition est unique à l’ordre près.
Preuve non faite en cours, idée sur un exemple et document donné pour cette preuve.

Proposition. Les transpositions engendrent l’ensemble des permutations, i.e. toute permutation peut se décomposer en produit de transposition.
Pour la preuve il suffit de montrer que tout cycle se décompose en produit de transposition et d’utiliser le théorème précédent.

Définition. Qu’est-ce que la signature d’une permutation ? ici on donne la définition via le nombre d’inversion, la signature est notée varepsilon(sigma) .

Proposition. Si x_1,...,x_n sont réels et sigma une permutation de S_n alors $prod{1 le i sle j le n}{}{(x_{sigma(i)}-x_{sigma(j)})} =varepsilon(sigma) prod{1 le i sle j le n}{}{(x_{i}-x_{j})}$ .

Proposition. Si sigma et tau sont deux permutations alors varepsilon(sigma circ tau)=epsilon(sigma)*epsilon(tau) .

III) Anneaux

1) Définitions. Qu’est-ce qu’un anneau (A,+,*) ?
Notation par de l’opposé de (symétrique pour la loi [math]+[/pmath], définitions d’anneau unitaire, commutatif.
0_A (le neutre pour la loi ) est un élément absorbant.
-(ab)=({-}a)b=a({-}b) et ({-}a)({-}b)=ab
${-}a=(-1_A)a=a(-1_A)$ dans le cas d’un anneau unitaire

Règles de calcul dans un anneau… formule du binôme dans le cas d’un anneau commutatif ou de deux éléments qui commutent.

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Semaine 3, L2 Intégrales

octobre 16th, 2007

III) Fonctions à valeurs complexes

Définition. Soit une fonction de delim{[}{a,b}{]} à valeurs complexes. La fonction est intégrable au sens de Riemann si et seulement Re(f) et Im(f) (parties réelle et complexe de la fonction) sont intégrables au sens de Riemann sur l’intervalle . Dans ce cas on définit int{a}{b}{f(x)dx}=int{a}{b}{Re(f)(x)dx}+i int{a}{b}{Im(f)(x)dx} .

Propriétés. Les propriétés vues précédemment dans le cas des fonctions à valeurs réelles subsistent. De plus on a l’inégalité pour toute fonction à valeurs complexes intégrables sur l’intervalle delim{[}{a,b}{]} delim{|}{int{a}{b}{f(x)}}{|} le int{a}{b}{delim{|}{f(x)}{|}dx}

IV) Cauchy-Schwarz, Minkowski et inégalité de la moyenne

1) Cauchy-Scwarz et Minkowski

Proposition, inégalité de Cauchy-Schwarz. Soient et deux fonctions intégrables au sens de Riemann sur l’intervalle delim{[}{a,b}{]} . Alors la fonction est intégrable et on a l’inégalité
$int{a}{b}{f(x)g(x)dx} le (int{a}{b}{f^2(x)dx})^{1/2} (int{a}{b}{g^2(x)dx})^{1/2}$

Remarque. Le produit de deux fonctions intégrables est intégrable

Proposition, inégalité de Minkowski $(int{a}{b}{(f(x)+g(x))^2 dx})^{1/2} le (int{a}{b}{f^2(x)dx})^{1/2}+(int{a}{b}{g^2(x)dx})^{1/2}$

2) Inégalité de la moyenne

Proposition. Soient et deux fonctions intégrables au sens de Riemann sur l’intervalle delim{[}{a,b}{]} telles que g ge 0 . Alors on a l’inégalité inf (f) int{a}{b}{g(x)dx} le int{a}{b}{f(x)g(x)dx} le sup(f) int{a}{b}{g(x)dx}. Si de plus est continue alors il existe c in delim{[}{a,b}{]} tel que f(c) int{a}{b}{g(x)dx}=int{a}{b}{f(x)g(x)dx}

Définition. Soit une fonction continue sur delim{[}{a,b}{]} (donc intégrable). Alors il existe c in delim{[}{a,b}{]} tel que f(c) =1/{b-a} int{a}{b}{f(x)dx} . Cette quantité est appelée valeur moyenne de .

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Semaine 3, L2 Algèbre

octobre 12th, 2007

8 ) et groupe cyclique

Théorème. Les sous-groupes de (bbZ,+) sont de la forme a bbZ , élément de bbN .

Rmq. On note la l.c.i sur bbZ sash n bbZ donnée par un théorème du cours.

Si n ge 1 alors bbZ sash n bbZ possède exactement éléments, cl(0), cl(1),..., cl(n-1) ou encore noté {0}over{.}, {1}over{.},..., {n-1}over{.}

Application. Un groupe cyclique fini d’ordre est isomorphe à (bbZ sash n bbZ,+) et un groupe cyclique infini est isomorphe à (bbZ,+) .

9) Le groupe symétrique

Définition. L’ensemble des permutations de delim{lbrace}{1,...,n}{rbrace} (i.e. bijection de dans lui-même) muni de la composition des applications est un groupe appelé groupe symétrique (S_n, circ) .

Rmq: Si n ge 3 le groupe est non commutatif.

Notation-exemple. écriture d’une permutation de S_n sous forme de tableau, la 1ère ligne étant les éléments de delim{lbrace}{1,...,n}{rbrace} , la seconde ligne étant les images delim{lbrace}{sigma(1),...,sigma(n)}{rbrace} : ({matrix{2}{5}{1 2 3 4 5 4 2 1 5 3}})

Définitions. Soit un élément de S_n

est point fixe de si .
support d’une permutation noté (ou encore le complémentaire des points fixes.)

Proposition. Soient s_1 et s_2 deux éléments de S_n . Alors $supp ({s_1 circ s_2}) subset supp(s_1) union supp(s_2)$ . Si de plus s_1 et s_2 sont à supports disjoints alors :

.
.
équivaut à et .

Définitions. Groupe monogène engendré par est d’ordre fini. Ordre d’une permutation est l’ordre de Gr(s) . Si appartient à delim{lbrace}{1,...,n}{rbrace} on définit l’orbite de selon par $Omega_i=delim{lbrace}{s^k(i), ~k ~dans~ bbZ}{rbrace}$ .

Exemple.

Définition. Cycle (ou permutation circulaire d’ordre )

Définition. Transposition

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Semaine 2, L2 Intégrales

octobre 8th, 2007

Relation de Chasles. Soit une fonction définie de delim{[}{a,b}{]} dans bbR . Soit tel que a sle c sle b . Alors est Riemann intégrable sur l’intervalle si et seulement si est Riemann intégrable sur l’intervalle delim{[}{a,c}{]} et sur delim{[}{c,b}{]} . De plus, dans ce cas, on a
int{a}{b}{f(x)dx}=int{a}{c}{f(x)dx}+int{c}{b}{f(x)dx}

Notation. Définition Si est une fonction Riemann intégrable sur l’intervalle delim{[}{a,b}{]} alors on note int{b}{a}{f(x)dx}=-int{a}{b}{f(x)dx}.

Exemples. Il n’y a pas que des fonctions Riemann intégrables !

Exemple 1. La fonction définie sur delim{[}{0,1}{]} par f(x)=1 si est dans bbR backslash bbQ et f(x)=0 sinon n’est pas Riemann intégrable.

Exemple 2. La fonction définie sur delim{[}{0,1}{]} par f(x)=1 si est dans bbR backslash bbQ , f(0)=0 et f(x)=1/q si x=p/q avec p,q dans N^ast premier entre eux, est Riemann intégrable.

Remarque. La composée de deux fonctions Riemann intégrables n’est pas nécessairement Riemann intégrable.

Exercice. Si est Rieman intégrable de delim{[}{a,b}{]} dans bbR et si Phi est une fonction continue de bbR dans bbR alors Phi circ f est Riemann intégrable. On pourra commencer par le cas plus simple d’une fonction positive et démontrer que sqrt{f} est Riemann intégrable.

3) Classes de fonctions Riemann intégrables

Les fonctions croissantes sont Riemann intégrables.

Les fonctions continues sur un intervalle sont Riemann intégrables sur ce même intervalle.

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Semaine 1, L2 Intégrales

octobre 5th, 2007

I] Intégrale et fonctions en escalier

1) Définitions

Définition : subdivision d’une subdivision (ou partage) d’un intervalle delim{[}{a,b}{]}

Définition : qu’est-ce qu’une fonction en escalier définie de delim{[}{a,b}{]} dans bbR ?

Définition : qu’est-ce qu’une subdivision adaptée à une fonction en escalier

Relation d’ordre sur l’ensemble des subdivision d’un intervalle

Conséquences : si et sont deux subdivisions on définit la plus fine des deux et la plus grossière des deux. La plus fine étant “grosso-modo” la réunion des deux (attention c’est une suite ordonnée) et la plus grossière étant l’intersection (nécessairement non vide car les deux extrémités sont des points de la subdivision).

Propriétés des fonctions en escalier
Il suffit de faire un dessin pour se convaincre que si f,g sont deux fonctions en escalier sur delim{[}{a,b}{]} et lambda un réel alors

est une fonction en escalier
est une fonction en escalier
est une fonction en escalier
est une fonction en escalier

Remarque L’ensemble des fonctions en escalier est une algèbre

2) Intégrale d’une fonction en escalier

Définition Si est une fonction en escalier et $s=(x_i )_{0 le i le n}$ une subdivision adaptée à alors la quantité
$sum{i=0}{n-1}{(x_{i+1}-x_i ) a_i}$ où a_i est la valeur constante prise par sur l’intervalle $delim{]}{x_i,x_{i+1}}{[}$ , ne dépend que de et en aucun cas de la subdvision. Cette somme est l’intégrale de à de et se note int{a}{b}{f(t) dt} .
il faut bien voir/comprender/savoir démontrer que la quantité ainsi définie ne dépend pas de la subdivision choisie !

Propriétés :

si sont deux fonctions en escalier sur coïncidant sauf en un nombre fini de points alors leur intégrale sur l’intervalle sont égales
l’application qui à une fonction en escalier associe son intégrale est une application linéaire
si est positive alors son intégrale l’est aussi

Relation de Chasles. Comme la restriction d’un fonction en escalier sur [a,b] à un sous intervalle est encore en escalier on démontre
int{a}{b} f(t)dt= int{a}{c} f(t) dt + int{c}{b} f(t) dt

II] Intégrabilité au sens de Riemann

1) Définition

Définition Soit une fonction définie de delim{[}{a,b}{]} dans bbR . Cette fonction est dite Riemann-intégrable si et seulement si l’une des deux conditions équivalentes est vérifiée

(A) pour tout strictement positif il existe $varphi_{varepsilon}, psi_{varepsilon}$ en escalier sur telles que pour tout dans on a
$delim{|}{f(x)-varphi_{varepsilon}(x)}{|} le psi_{varepsilon}(x)$ et $int{a}{b}{ psi_{varepsilon}(x) dx} le varepsilon$
(B) il existe deux suites de fonctions en escalier telles que pour tout et pour tout on a
$delim{|}{f(x)-varphi_{n}(x)}{|} le psi_{n}(x)$ et $lim{n right infty}{int{a}{b}{ psi_n (x) dx}}=0$

Quand une des propriétés équivalents (A) ou (B) est vérifiée et pour toute suite varphi_n associée à définie par (B) on démontre que la quantité $int{a}{b}{ varphi_n(t) dt}$ converge vers un réel qui ne dépend pas du choix de la suite mais qui dépend uniquement de et est noté int{a}{b}{f(x)dx} .

Remarque. Si est en escalier alors elle est intégrable au sens de Riemann (heureusement) et les notations introduites sont compatibles.

Proposition. Si une fonction est Riemann intégrable alors elle est bornée.

Lemme. Soit une fonction définie de delim{[}{a,b}{]} dans bbR . La fonction est Riemann intégrable si et seulement si pour tout $varphi_{varepsilon}, psi_{varepsilon}$ telles que

$varphi_{varepsilon} le f le psi_{varepsilon}$ sur
$int{a}{b}{(psi_{varepsilon}-varphi_{varepsilon})(t) dt} le varepsilon$

2) Propriétés

l’application qui à une fonction Riemann-intégrable associe son intégrale est une application linéaire
Si est positive et Riemann intégrable il en est de même pour son intégrale
si est Riemann intégrable alors est Riemann intégrable et
Si est Riemann intégrable et si est une fonction égale à partout (sur ) sauf en un nombre fini de points alors est Riemann intégrable et

Remarque : il faut bien comprendre que dans les deux dernières propriétés il y a d’une part une propriété qualitative ( delim{|}{f}{|} et sont Riemann-intégrables) et d’autre part une propriété quantitative (une inégalité et une égalité).

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Semaine 2, L2 Algèbre

octobre 3rd, 2007

Bonjour

Voici ce qui a été fait en cours:

Démonstration du Théorème de Lagrange

Définition de l’ordre d’un élément

Groupe quotient

Définition. Une relation d’équivalence est dite compatible avec la loi ast si xRy et zRw entraînent (x ast z) R(y ast w)

Théorème. Si est une relation d’équivalence compatible avec ast ( (G,ast) groupe) alors l’ensemble quotient G sash R muni de la l.c.i, cl(x)Tcl(y)=cl(x ast y) , est un groupe

Application. Si (G,ast ) est abélien et sous groupe de définition de la relation modulo ( x R_H y ssi $x ast y^{-1}$ dans ), compatible avec ast .

On note G sash H l’ensemble G sash R , qui est un groupe muni de la loi définie dans le théorème précédent.

Description des classes d’équivalence

Exemple (détaillé?!). (bbZ sash 2 bbZ, +)

7) Décomposition canonique d’un morphisme de groupe

Théorème. Si morphisme de groupe de (G,ast) dans (G prime, . ) (groupes supposés abéliens) alors G sash ker f et Im f sont isomorphes.

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Semaine 1, L2 algèbre

octobre 2nd, 2007

Bonjour

Voici ce qui a été fait aux deux cours de la 1ère semaine.

I] Lois de composition interne

Des définitions, des définitions et beaucoup de définitions En vrac, qu’est-ce qu’un l.c.i. ? associativité, commutativité, Éléments particuliers : neutre, symétrisable, régulier ou simplifiable. Le neutre s’il existe est unique, de même pour le symétrique à condition de savoir que la loi est associative ! symétrisable entraîne simplifiable ou régulier

Partie stable, loi induite ou comment munir un sous ensemble d’un ensemble structuré de la loi induite.

Morphismes, définition

II] Groupes

1)Définition Un groupe (G,ast) est un ensemble muni d’un l.c.i telle que

a) la loi ast est associative

b) (G,ast) possède un élément neutre

c) tout élément de est symétrisable

2) Sous Groupes

Définition : Qu’est-ce qu’un sous groupe ?

Théorème

Soient (G,ast) un groupe et une partie non vide de . Alors sous groupe de (G, ast) ssi

(1) pour tout (a,b) dans H, a ast b appartient à

(2) pour tout a in H , $a^{-1}$ (qui désigne le symétrique de dans (G,ast) ) appartient à

Théorème: (même hypothèse). est un sous groupe de (G,ast) ssi pour tout (a,b) dans , $a^{-1} ast b$ est dans (toujours $a^{-1}$ désigne le symétrique de dans )

Théorème: l’intersection d’une famille non vide de sous groupes est un sous-groupe.

Rmq-exercice: Pour l’union c’est faux (en général) !

Proposition-Définition: Le sous groupe engendré par , une partie non vide de (G,ast) , est le plus petit sous-groupe au sens de l’inclusion contenant . Notation, Gr(A)

Définition d’un sous-groupe monogène

3) Groupe produit ou comment on munit le produit cartésien d’une structure de groupe

Généralisation au cas d’un produit fini G_1* G_2* cdots G_n

4) Morphisme de groupe

Définition

Théorème: a) l’image du neutre de par un morphisme de groupe de (G,ast) dans (G prime , T ) est le neutre de G prime

b) l’image du symétrique est le symétrique de l’image (attention aux ensembles et notations)

c) f(G)=Im f est le (sous)groupe image

d) $ker f=f^{-1} ( delim{lbrace}{e prime}{rbrace})$ noyau de f est un sous-groupe

Théorème: CNS pour qu’un morphisme de groupe soit injectif

5) Groupe fini

Définition de l’ordre d’un groupe

Définition de l’ordre d’un élément par l’ordre du groupe engendré par delim{lbrace}{a}{rbrace}

Définition d’un groupe (sous-groupe) cyclique

Théorème de Lagrange. Si (G,ast) est un groupe fini alors l’ordre de tout sous-groupe de divise l’ordre de

Preuve la semaine prochaine !

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Installation de PHPMathPublisher

septembre 6th, 2007

Pour les formules mathématiques il m’est impossible d’avoir la solution idéale, à savoir LaTeX sur le serveur puis MimeTeX. J’ai tenté le MathML via AsciiMathMl, je ne sais pas trop ce que cela donne pour l’extérieur. Je viens d’installer une autre possibilité : PHPMathPublisher. L’avantage par rapport à MathML est qu’il n’y pas besoin de plugin pour IE. Pour les inconvénients, les formules sont des images : sur le serveur de free ce sera nécessairement lent. Voici un exemple int{Omega}{}{f(x)} dx

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